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西野翔百度什么是复数？（中）-林憨憨和她的数学世界

作者: admin 　发布: 2015-06-13　分类:全部文章　阅读: 258次

什么是复数？（中）-林憨憨和她的数学世界
复数从诞生的时刻起，就是一个汲取了代数和几何这两样天地精华的孩子。因此我们不难想象，它最终有能力将整个数学的发展上升到了一个全新的阶段。
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知识要求：高中数学以及复数（上）中提及的概念
非数学专业读者理解本文所需努力度：??药手回春??????
一个新的数学概念的提出，往往要经过几十甚至几百年才能被人们真正接受。而一个新概念能够被接受无限极萃雅，最主要的就要靠建立它和已有的数学概念之间的联系。我们在上篇中介绍的复数定义，大家可能觉得并不是很难以接受，但这却是几代数学家经过200多年的努力才总结出来的。如今，这种表达方式已经成为了现代数学的基本语言。
但是只有定义毕竟是空洞的，新的概念要能用来解答已有的数学中遇到的困难，才是有价值的概念。让我们打一个比方。数学家的工作好比在建造一座通往人类认知极限的高塔。我们的手上即使准备了很多建塔的砖，搭到一定高度时，如果不借助一些脚手架就难以再上去了。数学家引入复数，就可以理解为他们在为这个认知高塔搭建脚手架。而所谓联系，就是要让这个脚手架派上用场。最终在脚手架的帮助下西野翔百度，我们不仅解开了原本被困住的问题七瀬恋，而且获得了开阔的视野。

让我们先来回顾一下，在引入复数之前人们都被什么困住了呢新沂钟吾网？大家都知道，我们的祖先引入数的概念，一个最主要的目的就是用它来解答实际生活中遇到的各种问题。而解决这些问题的基本方式就是为生活中的实际问题建立方程，然后求解。最基本的方程是形如的多项式方程。其中被分别称为 0, 1, 2刘美钰, ... , n 阶系数大良凰后。
如果为了求解整系数 1 阶多项式方程（也就是线性方程），我们必须引入有理数。并且初中数学课我们就发现，对于 1 阶有理系数方程，我们总可以找到有理数解。换句话，有理数域在 1 阶多项式方程的问题上是封闭的。然而 1 阶显然是远远不够的，但我们只是稍稍把问题复杂到二阶，忽然就出现了很大的困难。此时，即使是把数扩充到实数也不能解决问题：比如说这个再简单不过的 2 阶整系数多项式方程，它在实数域里没有解。这似乎也不妨碍什么，没有解也确实对应于实际问题的意义——我们这个问题没有解答方案。
但是十六世纪意大利数学家卡尔达诺（Jerome Cardan）在研究一元三次多项式方程求根公式时发现，即使三个根都是实根居十方，求根公式也必须要借用复数来表达。这大概是人们第一次意识到有必要建立复数这个脚手架。对于一般的多项式方程，挪威数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel）证明了五次及五次以上的多项式方程不存在求根公式。但是复数的引入，使得我们至少总可以在复数范围内找到 n 次多项式的 n 个根。这直接带来了人类数学知识的一次飞跃。
这个飞跃的意义在数学的每个角落清晰可见，我们留下慢慢谈及。本文里，我们就先来具体讲讲，复数的引入是如何解决多项式方程的求根问题的。
一个数域上的多项式如果不能被因式分解为两个非常值多项式的积，我们就称这个多项式是不可约的（irreducible）。一个多项式方程有解，韩世雅等价于它可以被约化出线性多项式。在实数域上，多项式就是不可约的。借助于多项式，我们可以引入实多项式整环上的一个等价关系。【我们举一个等价关系的例子：对于所有动物构成的集合，动物的物种分类就是一种等价关系。具体的，如果两个动物属于一个物种，我们就说它们是等价的。所有物种的集合就是物种关系等价类的集合。】这个等价关系被定义为君王无情，多项式 f 等价于多项式 g 当且仅当 f - g 有这个因子。然后我们把实多项式整环用这个等价关系分解成一个个等价类。比如说，在这个等价类里，-1 和表示同一个元素，我们可以记作 [ -1 ] = []，这是因为- (-1) = ，它自然有这个因子。而这个元素和 [x] 不同，因为 1+x 没有这个因子。【有一些线性代数知识的读者想一想就会发现，这个等价类空间实际上具有 2 维实数线性空间的结构。[ 1 ] 和 [ x ] 这两个元素构成了它的一组基。】有趣的是，这个等价类空间实际上是一个域。如果把 [ 1 ] 对映于实数 1 ，把 [ x ] 对映于虚数 i ，那么这个域实际上就是我们已经定义过的复数域！现在，让我们来回顾一下我们的构造：
第一步，我们从实数域开始，考虑所有实系数多项式，它们构成一个整环，称为实系数多项式环。
第二步，我们取实系数多项式整环里的一个不可约多项式，并利用它构造了一个实系数多项式环上的等价关系。
第三步，考虑所有上述等价类构成的空间，我们发现这个空间是一个实 2 维线性空间，并且它具有域的结构。这个域自然的包括用来构造它的实数域。
这种构造，被称为域的扩张（field extension）。它可以一般化到将实数域替换为任何一个域，将替换为任意一个这个域上的不可约多项式豪门懒夫人。利用这个不可约多项式给出的等价关系，我们就会给出一个新的域，并且这个新的域包含起始的域。从这个角度，复数域是实数域的扩张。

【有理数域上的有限域扩张。它说明：任何一个可以写成的幂和的幂的和的数一定可以被写成+的幂的和。是不是很神奇呀？图片来自：http://www.science4all.org/article/galois-theory/】
现在，读者也许会问这样几个问题：
如果我们选择不同的不可约多项式，比如说，那么从实数域我们会得到不同的域扩张吗？
在我们用这种方式得到复数域以后江雨寒，我们还可以继续重复上述的操作，扩张到更大的域吗？
是否有更高阶的不可域多项式使得我们能够得到其他种类（非 2 次）的域扩张呢？
这三个问题的答案都是否定的。对于第一个问题，将变为无非只是在改变扩域的基的选择，但这并不改变扩域空间本身。第二个问题非常本质，这实际上等价于说，任何非零的 n 阶复系数多项式方程都会有 1 个（因此也就会有 n 个）复数根。这个结果被称为复数域是代数封闭的。它是深刻确也是非常基本的结果，因此被人们称为代数学基本定理。它的证明必须依赖于实数域的几何完备性。（我们在本文的最后对它的证明进行一点初步的讨论，并把完整的证明留在下篇。）代数学基本定理同时也回答了上边的第三个问题，即不存在 3 阶或 3 阶以上的实系数不可约多项式。因为对于任何一个这样的多项式，代数学基本定理告诉我们，它必存在复根。而利用这个复根，我们将得到它有一个 1 阶或 2 阶多项式因子，因此不可能是不可约的。
上述的域扩张构造不仅完满的回答了复数域如此定义的自然性，也回答了复数域存在的唯一性——即复数域是包含实数域的最小代数封闭域，同时也是这一支代数扩域链的顶端。更为重要的是，这种方式提供给我们一种一般的构造域的方法。下面我们举一个最简单的例子来说明。
首先我们看一个只有两个元素的域。它包含两个元素 { 0, 1 } 。它的加法被定义为自然数的模 2 加法——比如说 1 + 1 被定义为 2 除以 2 的余数，也就是 0；它的乘法被定义为自然数的模 2 乘法（此时也是正常的自然数乘法）。那么根据定义可以验证，它是一个域。事实上，任取一个素数 p ，都可以用这样的方式构造出含有 p 个元素的域。这样的域被记作，称作 p 个元素的有限域。这些构造在数论以及密码学应用中发挥着至关重要的作用。上边构造的有限域只可能含有素数个元素。【读者可以试着检验：如果把素数p换成一个非素数的正整数，那么这样构造的加法和乘法不能构成域——因为此时零除子存在。】那么我们现在就可以问这样的问题：4 不是素数，那么有没有只含有 4 个元素的域呢？回答是肯定的，现在我们就来构造一个: 考虑为系数的多项式环，它含有无穷多个元素，比如说等等。我们不难发现这个多项式在中是不可约的。因此我们就可以用前边提到的域扩张方法来构造一个域。结果是这个域只有四个元素 { [ 0 ], [ 1 ], [ x ], [ 1 + x ]}。
那么，域为什么重要呢？我想，不同研究领域的数学家对这个问题会有出于不同心得的回答。光是复数域这样比较平凡的域【平凡指，它的特征是 0 】就已经渗透数学的方方面面了。而有限域就更是直接联系着数学女王——数论问题。我本人觉得五六养鸡网，一个域自身具有丰富的代数结构可能是一个共通的原因：首先域关于加法和乘法具有线性空间结构；其次，再去掉零点以后，它关于乘法有阿贝尔群结构；更为有趣的是，这个阿贝尔群在加法线性空间上自然的作用，也就是域是自己的乘法群结构的表示。这里边的每一句话，都是一个丰富的数学分支。域不仅是一个零件，还是一个极其精巧的零件。
本文结束之前，让我们指出，虽然我们似乎完全依靠代数学方法引入了复数，但它的真正应用价值——也就是代数学基本定理，需要借助于其他数学方法，比如分析和几何才能得以证明。这也是为什么我们需要把它留到复数的最后一篇（下）里给出。如果把一个优美定理的证明比喻成一条长河，那么这条长河有时平静舒缓，有时激流澎湃。在我们从自然数到引入复数并最终得到代数学基本定理的旅程上，至少走过一处风光无限的险滩：这就是从有理数到实数的扩充。这一次扩充，并不是单纯的在代数意义下的扩充。【如果不引入实数，也可以直接利用不可约多项式来扩充有理数域，这就是所谓的代数数域。这样的数域在数论中有重要作用，但是这种方式并不会得到实数。】从有理数到实数，不仅仅是代数下的完备化，而是在几何，也就是度量意义下的完备化。比如说，这个实数就不是任何代数方程的根——数学家称它为超越数花园口决堤。这就至少在直觉上为我们解释了为什么代数学基本定理的证明必须要用到几何性质。
可见，复数从诞生的时刻起，就是一个汲取了代数和几何这两样天地精华的孩子。因此我们不难想象，它最终有能力将整个数学的发展上升到了一个全新的阶段。
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