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英语词源字典什么是复数？（上）-林憨憨和她的数学世界

作者: admin 　发布: 2018-08-15　分类:全部文章　阅读: 321次

什么是复数？（上）-林憨憨和她的数学世界
林憨憨的数学科普第一篇就从复数是什么开始吧。在这一篇里，我们从“什么是复数域”这个问题出发，通过介绍抽象代数学里的基本概念等来回答复数的定义。

现代度：??
严格度：????????
知识要求：初中数学
复数是什么？从“复数”名字看，基本答案已经在那里了——复数是一个数。但是在数学家的字典里，没有一个字或词是没有经过严格定义描述的。因此下面的问题就是，数是什么呢？复数又是什么样的数？
我们先说说数是什么。我们从幼儿园时代就开始接触到“数”这个词了——比如说，数数。数（三声）数（四声）这个词里，第二个数是个名词，它表示自然数。第一个数是个动词。数数的含义，实际上是在建立一个集合——也就是我们要数（三声）的对象——和自然数集的一一对映。比如说我们数篮子里的苹果，那么被数（三声）的集合就是苹果；数（三声）就是建立篮子里苹果组成的集合和自然数集的一一对映，我们总是要求这个对映到自然数集里从 1 开始顺沿。最后我们就会得到苹果对映的自然数集，比如说 {1, 2, 3, 4}。这时我们就说篮子里有四个苹果。一个集合要是能建立和自然数的一一对映，我们就说它是可数的（countable）。自然数集显然是可数的，数法就是把每个数对应到它自己。然而并不是所有的数（四声）都能数（三声）多克多比。比如说，实数就没法数。
在中小学数学课上，除了自然数，还遇到过整数、有理数、无理数、实数。【整数集和有理数集是可数的；无理数集和实数集是不可数的。读者可以自己尝试证明一下——虽然这个问题不那么简单。】除了上边提到的这些集合是否是可数这个概念，数学课上我们花了大量的时间学习这些数的运算和这些运算满足的性质。
比如说，小学或者幼儿园我们就知道，两个自然数可以做加法，可以做乘法。数学家从加法或乘法这样的运算中抽象出一个概念，叫二元运算（binary operation）。所谓“二元”，是说这种运算需要两个数作为输入。但“二元”并不够刻画这些运算的所有性质。有一个看起来很寻常，很容易就被我们漏掉的观点是：算完得到的结果也必须是这样的数赌尊。一个二元运算必须如下图所示，有两个输入和一个输出。

数学家最基本的语言是集合的语言。用这个语言，一个数集（可以是自然数集，整数集或者有理数集等等）上的二元运算被定义为这个数集和自己的笛卡儿积（Cartesian product）（也就是由一对数组成的集合）到这个数集的一个映射。比如说，一个整数集上的二元运算就是一个映射我们知道，两个自然数还可以做减法。但是，注意了：减法并不是自然数集合上的二元运算——因为两个自然数相减，如果被减数比减数小，那么我们不可能得到一个自然数。类似道理，除法也不是一个自然数集合上的二元运算，即使我们去掉0。
为了让减法成为一个二元运算，我们不得不扩大自然数集。这也就是初中时我们在数学课上做的第一件事——把自然数集扩大到了整数集，也就是包括进去了负整数。整数集上的加法满足结合律和交换律；有一个特殊的整数0，它和任何整数相加不改变这个整数；每一个整数都有另一个整数和它相加等于0（这个整数被我们称为相反数）。数学家称，整数集关于加法构成了一个以0为单位元的交换群（commutative group）——为了纪念法国著名数学家阿贝尔，交换群也被叫做阿贝尔群（abelian group）。
但整数集其实有比一般的阿贝尔群好得多的性质，比如它还有一个乘法运算。这个乘法运算也满足结合律，交换律；它和加法运算一起满足分配律；有一个特殊的整数1，它和任何整数相乘不改变这个整数；任何两个整数相乘要是等于0，那么必有一个整数得是0。这些性质一起，被数学家总结为，整数集关于加法和乘法构成了一个整环（intergral domain），它是一种性质格外好的环（ring）苏小玎。同时注意到，整数集上的乘法并不像加法：并不是每一个整数都能找到另一个整数和它相乘为1。因此整数集不是一个域（field）——因为乘法的逆运算除法不是去掉0的整数集上的二元运算。
为了把除法变成二元运算大懒堂，初中数学课我们做的第二件事就是引入了有理数。从整数引入有理数的做法如果一般化一些，就是数学家所谓的从整环构造分式域（field of fractions）。如此构造的分式域是能够包含整环的最小的域——这种抽象其实是有意义的。【有兴趣的读者可以思考这样一个练习：考虑集合试证它关于加法和乘法构成了一个整环，并且构造它的分式域。这个例子告诉我们，抽象的方法可以帮我们构造出很多除了有理数域以外的域。】
所以，在数学家看来，被我们日常称为整数，有理数的“数”，实际上不止是这些数构成的集合本身，还包括这些数集上的二元运算。当这些二元运算满足一定的性质时，它们就成为了一个代数研究对象。这些代数对象包括整数环，有理数域，实数域等等。
那么什么是复数域呢杜浔酥糖 ？我们已经知道，说明一个数域，我们需要一个集合，集合上的两种二元运算并且要核实这两种运算满足一定的性质。我们从集合开始回答。
实际上，复数域的集合就是实数集的笛卡儿积，一般记作或者简记作。也就是说，复数集里的元素就是一个个实数对。接下来，我们回答这两种运算是什么。加法运算其实就是最自然的方式，实数对的两个位置上的实数分别相加。比如实数对(1, 2)加实数对(5, -7)就是实数对(1+5, 2+(-7))，也就是(6, -5)。到了定义乘法，我们本也可以就这么自然的定义乘法为：实数对(1, 2)乘实数对(5, -7)是实数对(1X5远处有座山, 2X(-7))，也就是(5, -14)不可思议造句。结合律，交换律，分配律全都完美的被满足。现在实数加法里的0被实数对(0, 0)替代，实数乘法里的1被实数对(1, 1)替代。
但是绸缪束薪，注意在一个性质上我们遇到了困难。我们知道，两个实数相乘如果得0，那么我们可以说，必有一个实数是零。这是我们能够顺利的解实数作为系数的多项式方程的根本原因。但是现在，我们来看这种实数对的乘法。例如，实数对 (1, 2)和实数对 (4, -2)相乘是 (0, 0)，但是这两个实数对哪个也不是 (0, 0)。数学家称这种现象为，这种乘法存在零除子 (zero divisor)。零除子的存在会导致解方程的困难。因此虽然用前边提到的定义，这种乘法运算确实给了实数对集合一个整环结构，但是它不是一个很好的结构，至少不是我们希望的结构。它只是一个环，但不是一个整环。【读者可以试着证明，零除子的存在使得它也不可能是个域。】
为此我们必须为实数对集合寻找另一种乘法。现在我们定义乘法为

这个定义初看起来有点儿复杂，要检查它满足结合律、交换律以及和加法满足分配律还得费点儿力气。但是无论如何，经过一点儿计算后我们会发现，它满足域的一切性质刘纯燕老公。特别的市川染五郎，对于任何一个不是 (0, 0) 的实数对 (a英语词源字典, b)，我们可以构造一个实数对
，它和 (a, b) 相乘是1。这个元素可以被称作 (a, b) 的乘法逆元素 (multiplication inverse)。借助它，两个元素的除法就是第一个元素乘以第二个元素的逆——当然，我们需要要求第二个元素不是 (0, 0)。罗秀春除法在去掉零点以后也封闭了。
到这里，很多读者可能早已经看破，这个乘法对我们来说其实并不陌生。在高中数学里，我们引入了一个虚拟的数 i ,也记作。我们将 a+bi，a, b是两个实数，这样的数叫复数。我们规定这些复数的乘法为:

这实际上和我们前边说的事情本质上一模一样的——本质上一样是指：如果我们用 (a伊莫珍·波茨, b) 对应于 a+bi 的方式给出实数对和复数的一一对应，那么对于任何两个实数对: (a, b), (c, d)，它们用上述实数对的加法和乘法计算后分别对应过去，恰好是复数 a+bi 和 c+di 的加法和乘法。这种对应，被数学家称为两个代数对象（比如说两个环，两个整环，两个域等等）是同构的 (isomorphic)——它们在相应的代数结构意义下是完全一样的研究对象。
很多人对于复数难以理解的感觉来自于这个虚拟数 i 的强行引入——这种难以理解，基本对应于实数对上要定义一个看似并不自然的乘法。所以我们在复数中篇就要来回答，复数的存在为什么是自然的。
本文的最后，让我们先来说说，我们希望的“自然”是什么意思呢？大家都认为自然数自然，因为它可以轻松描述我们生活里遇到的对象；我们也认为整数自然，因为它可以从自然数的减法运算里得到；我们认为有理数自然，因为它可以从整数的除法运算里得到；我们甚至认为实数自然，因为它包含有理数的极限【实际上这个极限要描述清楚并不显然——一个严格的表述是所谓的戴德金分割（Dedekind cut）。】，而且我们可以用几何图形数轴来理解它。因此要说明复数自然，我们或者直接把它对应到一个我们熟悉的生活对象上，或者解释它如何从我们已经认为是自然的的事物里得到。
似乎复数不能直接对应于我们生活里熟知的事情——至少大部分人不会因为不知道复数遭遇除了高考以外的任何生活烦恼。因此，在复数中篇里我们就从大家相对熟悉的角度来理解复数——第一个角度是考虑实数平面上的几何变换；第二个角度是考虑实多项式方程的求根问题。这两个角度，其实在我们的高中数学课中都有涉及，但是我们现在要用精确的现代数学语言和视角将它们严格表述和阐释。你将会发现，这种严格化将把我们带到一片极为广阔的数学天地。
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